Найвідоміші парадокси в теорії ймовірностей

«Існують три види брехні: брехня, нахабна брехня і статистика». Ця фраза, приписана Марком Твеном прем`єр-міністру Великобританії Бенджаміну Дізраелі, непогано відображає ставлення більшості до математичних закономірностей. Дійсно, теорія ймовірностей часом підкидає дивовижні факти, в які складно повірити з першого погляду - і які, тим не менш, підтверджені наукою. Згадуємо найвідоміші парадокси.

Проблема Монті Холла

Саме це завдання у фільмі «Двадцять одне» запропонував студентам хитрий професор MIT. Давши правильну відповідь, головний герой потрапляє в команду блискучих молодих математиків, що обіграють казино в Лас-Вегасі.

Відео: Руйнівники легенд перевірили Парадокс Монті Холла

Класичне формулювання звучить так: «Допустимо, якомусь гравцеві запропонували взяти участь у відомому американському телешоу Let`s Make a Deal, яке веде Монті Холл, і йому необхідно вибрати одну з трьох дверей. За двома дверима знаходяться кози, за однією - головний приз, автомобіль, провідний знає розташування призів. Після того, як гравець робить свій вибір, ведучий відкриває одну з решти дверей, за якою знаходиться коза, і пропонує гравцеві змінити своє рішення. Чи варто гравцеві погодитися або краще зберегти свій первісний вибір? »

Ось типовий хід міркувань: після того, як ведучий відкрив одну з дверей і показав козу, гравцеві залишається вибрати між двома дверима. Машина знаходиться за однією з них, значить, ймовірність її вгадати становить 1/2. Так що немає різниці - міняти свій вибір чи ні. І тим не менше, теорія ймовірностей свідчить, що можна збільшити свої шанси на виграш, змінивши рішення. Розберемося, чому це так.

Для цього повернемося на крок назад. У той момент, коли ми зробили свій початковий вибір, ми розділили двері на дві частини: обрана нами і дві інші. Очевидно, що ймовірність того, що автомобіль ховається за «нашої» дверима, становить 1/3 - відповідно, автомобіль знаходиться за однією з двох, що залишилися дверей з ймовірністю 2/3. Коли ведучий показує, що за однією з цих дверей - коза, виходить, що ці 2/3 шансу припадають на другі двері. А це зводить вибір гравця до двох дверей, за однією з яких (спочатку обраної) автомобіль знаходиться з імовірністю 1/3, а за іншою - з ймовірністю 2/3. Вибір стає очевидним. Що, зрозуміло, не скасовує того факту, що з самого початку гравець міг вибрати двері з автомобілем.

Завдання трьох в`язнів

Парадокс трьох в`язнів схожий з проблемою Монті Холла, хоча дія розгортається в більш драматичних умовах. Троє в`язнів (А, Б і В) засуджені до смертної кари і поміщені в одиночні камери. Губернатор випадковим чином вибирає одного з них і дає йому помилування. Наглядач знає, хто з трьох був помилуваний, але йому велено тримати це в таємниці. В`язень A просить стражника сказати йому ім`я другого ув`язненого (крім нього самого), який точно буде страчений: «якщо Б помилуваний, скажи мені, що страчений буде В. Якщо помилуваний В, скажи мені, що страчений буде Б. Якщо вони обидва будуть страчені , а помилуваний я, підкинь монету, і скажи будь-яке з цих двох імен ». Наглядач каже, що буде страчений в`язень Б. Чи варто радіти в`язневі А?

Здавалося б, так. Адже до отримання цієї інформації ймовірність смерті в`язня А становила 2/3, а тепер він знає, що один з двох інших в`язнів буде страчений - значить, ймовірність його страти знизилася до 1/2. Але насправді в`язень А не впізнав нічого нового: якщо помилуваний не він, йому назвуть ім`я іншого в`язня, а він і так знав, що когось із двох останніх стратять. Якщо ж йому пощастило, і кару скасували, він почує випадкове ім`я Б або В. Тому його шанси на порятунок ніяк не змінилися.

А тепер уявімо, що хтось із решти в`язнів дізнається про питання в`язня А і отриманій відповіді. Це змінить його уявлення про ймовірність помилування.

Якщо розмова підслухав в`язень Б, він дізнається, що його точно стратять. А якщо в`язень У, то ймовірність його помилування становитиме 2/3. Чому так сталося? В`язень А не отримав ніякої інформації, і його шанси на помилування і раніше 1/3. В`язень Б точно не буде помилуваний, і його шанси дорівнюють нулю. Значить, ймовірність того, що на свободу вийде третій в`язень, дорівнює 2/3.

Парадокс двох конвертів

Цей парадокс став відомий завдяки математику Мартіну Гарднера, і формулюється так: «Припустимо, вам з одним запропонували два конверта, в одному з яких лежить певна сума грошей X, а в іншому - сума вдвічі більше. Ви незалежно один від одного перегризаєте конверти, перераховуєте гроші, після чого можете обмінятися ними. Конверти однакові, тому ймовірність того, що вам дістанеться конверт з меншою сумою, складає 1/2. Припустимо, ви відкрили конверт і виявили в ньому $ 10.

Отже, в конверті вашого друга може бути равновероятно $ 5 або $ 20. Якщо ви наважуєтеся на обмін, то можна підрахувати математичне очікування підсумкової суми - тобто, її середнє значення. Вона становить 1 / 2х $ 5 + 1 / 2x20 = $ 12,5. Таким чином, обмін вам вигідний. І, швидше за все, ваш друг буде міркувати точно так же. Але очевидно, що обмін не може бути вигідний вам обом. У чому ж помилка? »

Парадокс полягає в тому, що поки ви не розкрили свій конверт, ймовірності поводяться доброчесно: у вас дійсно 50-відсотковий шанс виявити в своєму конверті суму X і 50-процентний - суму 2X. І здоровий глузд підказує, що інформація про наявну у вас сумі не може вплинути на вміст другого конверта.

Проте, як тільки ви перегризаєте конверт, ситуація кардинально змінюється (цей парадокс чимось схожий на історію з котом Шредінгера, де сама наявність спостерігача впливає на стан справ). Справа в тому, що для дотримання умов парадоксу ймовірність знаходження в другому конверті більшою або меншою суми, ніж у вас, повинна бути однаковою. Але тоді равновероятно будь-яке значення цієї суми від нуля до нескінченності. А якщо равновероятно нескінченне число можливостей, в сумі вони дають нескінченність. А це неможливо.

Для наочності можна уявити, що ви виявляєте в своєму конверті один цент. Очевидно, що в другому конверті не може бути суми вдвічі менше.

Цікаво, що дискусії щодо дозволу парадоксу тривають і в даний час. При цьому робляться спроби як пояснити парадокс зсередини, так і виробити найкращу стратегію поведінки в подібній ситуації. Зокрема, професор Томас Кавер запропонував оригінальний підхід до формування стратегії - міняти чи не міняти конверт, керуючись якимось інтуїтивним очікуванням. Скажімо, якщо ви відкрили конверт і виявили в ньому $ 10 - невелику суму за вашими підрахунками - варто його обміняти. А якщо в конверті, скажімо, $ 1 000, що перевершує ваші найсміливіші очікування, то змінюватися не треба. Ця інтуїтивна стратегія в разі, якщо вам регулярно пропонують вибирати два конверта, дає можливість збільшити сумарний виграш більше, ніж стратегія постійної зміни конвертів.

Відео: Парадокси теорії ймовірностей (частина 1 - суспільство скептиків)

Парадокс хлопчика і дівчинки

Цей парадокс був також запропонований Мартіном Гарднером і формулюється так: «У містера Сміта двоє дітей. Хоча б одна дитина - хлопчик. Яка ймовірність того, що і другий - теж хлопчик? »

Здавалося б, завдання просте. Однак якщо почати розбиратися, виявляється цікаву обставину: правильну відповідь буде відрізнятися в залежності від того, яким чином ми будемо підраховувати ймовірність статі іншої дитини.

Варіант 1

Розглянемо всі можливі комбінації в сім`ях з двома дітьми:

- Дівчинка / Дівчинка

- Дівчинка хлопчик

- Хлопчик / Дівчинка

- Хлопчик / Хлопчик

Варіант дівчинка / дівчинка нам не підходить за умовами завдання. Тому для сім`ї містера Сміта можливі три рівноймовірно варіанти - а значить, ймовірність того, що інша дитина теж виявиться хлопчиком, становить 1/3. Саме таку відповідь і давав сам Гарднер спочатку.

Варіант 2

Уявімо, що ми зустрічаємо містера Сміта на вулиці, коли він гуляє з сином. Яка ймовірність того, що друга дитина - теж хлопчик? Оскільки стать другої дитини ніяк не залежить від статі першого, очевидним (і правильним) відповіддю є 1/2.

Чому так відбувається, адже, здавалося б, нічого не змінилося?

Все залежить від того, як ми підходимо до питання підрахунку ймовірності. У першому випадку ми розглядали всі можливі варіанти сім`ї Сміта. У другому - ми розглядали всі сім`ї, які підпадають під обов`язкову умову «повинен бути один хлопчик». Розрахунок ймовірності статі другу дитину вівся з цією умовою (в теорії ймовірностей це називається «умовна ймовірність»), що і призвело до результату, відмінного від першого.