Розкладання на множники многочленів

Розкладанням многочлена на множники є тотожне перетворення, при якому многочлен представляється у вигляді добутку множників, кожний з яких є дільником вихідного многочлена. Дане завдання є типовою математичної операцією, яка затребувана в різних розділах математики. Так нерідко трапляється так, що виконання цього перетворення не тільки спрощує рішення рівняння, а й є одним з методів пошуку меж та знаходження інтегралів.

Для виконання цих дій застосовуються різні методи, можливість застосування яких залежить від заданого многочлена. Так найпростіший метод розкладання - винесення загального множника. Даний метод можна застосовувати для многочленів виду
ax ^ n + bx ^ k + ....... = 0,
тобто для тих виразів, в яких відсутній вільний член. Після цього перетворення отримані вираження матиме вигляд:
x ^ l (ax ^ (n-l) + bx ^ (k-l) + ..... c = 0),
де l - найменший ступінь змінної, що зустрічається у вихідному виразі. Залежно від умов завдання, вираз, що містяться в дужках може піддатися подальшим перетворенням. В даному методі використовується розподільний закон, справедливий для будь-якого лінійного пространтва.

Другим, більш складним методом розкладання, є застосування формул скороченого множення. У цьому випадку в вихідному многочлене необхідно «побачити» вираз, що використовується в формулах. Іноді дана задача є тривіальної (наприклад, вираз x ^ 4 1 може бути легко перетворено до виду x ^ 4-1 ^ 2. Після тривіальної заміни може маємо (x ^ 2-1) (x ^ 2 + 1). У свою чергу перший множник даного виразу може, аналогічним способом бути розкладений на два співмножники: (x ^ 2-1) (x ^ 2 + 1) = (x-1) (x + 1) (x ^ 2 + 1)). Однак часто трапляється так, що перетворення, необхідні для використання формул, далеко не тривіальні. Найчастіше в цьому випадку потрібно виділення повного квадрата, яке допомагає в більшості випадків. Так, наприклад вираз (x ^ 2 + 2x -8) = 0 може бути перетворено до виду (x ^ 2 + 2x-8) = x ^ 2 + 2 * x + 1-9 (тобто вихідне вираз виду ax ^ 2 + bx + c = 0 ми перетворюємо до виду x ^ 2 + 2bx / a + b ^ 2 + d = 0, де вільний член d підбирається таким чином, щоб виконувалося рівність). Потім, використовуючи формулу можемо записати x ^ 2 + 2 * x + 1-9 = (x + 1) ^ 2 -9 = (x + 1) ^ 2-3 ^ 2 = (x-2) (x + 4)

Найбільш універсальним методом пошуку співмножників є спосіб невизначених коефіцієнтів. При використанні даного способу застосовуються такі теореми:
• Основна теорема алгебри
• Многочлен 3 ступеня розкладається в добуток многочленів 1 і 2 ступенів (ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = (x + k) (qx ^ 2 + wx + e))
• Многочлен 4 ступеня розкладається в проізведеніе2 многочленів 2 ступенів
Для знаходження коефіцієнтів в многочленах використовують першу теорему, згідно з якою, для многочлена третього ступеня можна записати (після розкриття дужок):
q = a
wp + kq = b
e + kw = c
ke = d,
де величини, які стоять в правій частині виразів відомі з умови задачі. Вирішивши цю систему чотирьох рівнянь (яка містить чотири невідомих), ми зможемо розкласти вихідний многочлен на множники. Даний спосіб є універсальним, і може допомогти тоді, коли інші методи не допомогли.

Відео: Теорема Безу і розкладання многочлена на множники