C якою швидкістю буде рухатися друга частка.

За умовою, частка маси m, що рухається зі швидкістю v, налітає на покояться частку маси m / 2 і після пружного зіткнення відскакує від неї під кутом a = 30о до напрямку свого початкового руху. Потрібно визначити, з якою швидкістю почне рухатися друга частка?

Уявімо рух частинок у вигляді малюнків:

Введемо позначення:

маса першої частки - m,

масу другий частки - m / 2

швидкість першої частки до удару - v

швидкість першої частки після удару - v1

швидкість другої частки після удару -v2

Вважаючи систему з двох частинок консервативної і замкнутої, застосуємо до неї закони збереження імпульсу і механічної енергії.

Згідно із законом збереження імпульсу

mv= mv1 + mv2/2 (символ v підкреслять у векторному вигляді)

або v= v1 + v2/2

Це векторне рівність можна замінити двома скалярними, проектуючи вектори

- на вісь x: mv = mv1 cos A + (mv2 cosB) / 2

або v = v1 cos A + (v2 cosB) / 2 (рівняння 1)

- на вісь y: 0 = mv1 sin A - (mv2 sin B) / 2,

або 0 = v1 sin A - (v2 sin B) / 2 (уравненіе2),

де

A -кут між напрямком швидкості першої частки після удару v1 і віссю х.

B - кут між напрямком швидкості другої частки після удару v2 і віссю х.

При пружному зіткненні виконується закон збереження енергії, який враховує, що взаємодія відбувається в горизонтальній площині і зміни потенційної енергії системи не відбувається:

mv2 / 2 = mv12 / 2 + mv22 / 4, або

v2 / 2 = v12 / 2 + v22 / 4 (рівняння 3)

Отримуємо систему 3х рівнянь з трьома невідомими v1, v2 і кут В.

Вирішуючи спільно ці три рівняння.

Запишемо рівняння 1 у вигляді:

(V2 cosB) / 2 = v - v1 cos A

А рівняння 2 у вигляді:

(V2 sin B) / 2 = v1 sin A.

Зведемо в квадрат два останніх вирази і складемо квадрати, отримаємо

(V2 2cos2B) / 4 = v2 - 2vv1 cos A + v12 cos2 A

(V22 sin2 B) / 4 = v12 sin2 A.

(V2 2cos2B) / 4 + (v22 sin2 B) / 4 = v2 - 2vv1 cos A + v12 cos2 A + v12 sin2 A

З огляду на, що cos2B + sin2 B = 1,

Отримуємо вираз без невідомого кута В:

v2 2/4 = v2 - 2vv1 cos A + v12 cos2 A + v12 sin2 A

cos2А + sin2 А = 1, тому:

v2 2/4 = v2 - 2vv1 cos A + v12 (cos2 A + sin2 A) = v2 - 2vv1 cos A + v12

v2 2/4 = v2 - 2vv1 cos A + v12 (рівняння 4)

Висловимо з рівняння 3 v22:

v22 = 2v2 - 2v12

і підставимо в рівняння 4:

(2v2 - 2v12) / 4 = v2 - 2vv1 cos A + v12

(V2 - v12) / 2 = v2 - 2vv1 cos A + v12

Виконавши перетворення і врахувавши, що cos A = cos30 = radic-3/2

отримаємо швидкість першої частки після удару

v1 = v / radic-3

Знаходимо швидкість другої частки

v2 = 2v / radic-3

Напрямок швидкості другої частки визначається кутом В, який виходить рівним куту А і 30 град.